آشنایی با ژئوئید و روش های درون یابی در مدل ژئوئیدی

از آنجایی که شکل ژئوئید بسیار پیچیده است و تحت تأثیر توزیع جرم در پوسته و درون زمین قرار دارد، محاسبه مقدار دقیق آن در هر نقطه از سطح زمین کار ساده ای نیست. به همین دلیل در ژئودزی از مدل های شبکه ای ژئوئید استفاده می شود.

در این مدل ها سطح ژئوئید به صورت مجموعه ای از نقاط شبکه ای نمایش داده می شود. برای هر نقطه از شبکه، مقدار ارتفاع ژئوئید (N) نسبت به بیضوی مرجع محاسبه و ذخیره شده است. این نقاط معمولاً در فواصل منظم طول و عرض جغرافیایی قرار دارند و یک شبکه منظم را تشکیل می دهند.

به عنوان مثال، ممکن است یک مدل ژئوئید دارای شبکه ای با فاصله ۱ درجه، ۰٫۵ درجه یا حتی چند دقیقه قوسی باشد. هرچه فاصله نقاط شبکه کمتر باشد، مدل ژئوئید دقت بیشتری خواهد داشت.

یکی از مهم ترین ویژگی های هر مدل ژئوئید، رزولوشن شبکه یا فاصله بین نقاط آن است. این فاصله مشخص می کند که داده های ژئوئید با چه دقت مکانی در دسترس هستند.

• شبکه های درشت: فاصله نقاط زیاد است و دقت مدل کمتر خواهد بود.
• شبکه های متوسط: برای بسیاری از کاربردهای نقشه برداری مناسب هستند.
• شبکه های ریز: دارای دقت بالا و مناسب پروژه های مهندسی دقیق هستند.

برای مثال، در یک مدل ژئوئید ممکن است داده ها در فواصل ۱۵ دقیقه قوسی، ۵ دقیقه قوسی یا حتی کمتر ارائه شوند. هرچه فاصله نقاط شبکه کمتر باشد، تغییرات ژئوئید بهتر مدل سازی می شود.

با این حال، حتی در دقیق ترین مدل ها نیز ممکن است مختصات نقطه مورد نظر دقیقاً بر روی یکی از نقاط شبکه قرار نگیرد. در این حالت باید از روش های درون یابی استفاده کرد تا مقدار ارتفاع ژئوئید در آن نقطه تخمین زده شود.

درون یابی (Interpolation) فرآیندی است که در آن مقدار یک کمیت در یک نقطه ناشناخته با استفاده از مقادیر نقاط اطراف آن تخمین زده می شود. در مدل های ژئوئید نیز از درون یابی برای محاسبه مقدار ارتفاع ژئوئید در نقاطی استفاده می شود که دقیقاً روی گره های شبکه قرار ندارند.

فرض کنید مختصات یک نقطه توسط GPS اندازه گیری شده است و ما قصد داریم ارتفاع ژئوئید آن را از یک مدل شبکه ای استخراج کنیم. در بسیاری از موارد، این نقطه بین چند گره شبکه قرار دارد. بنابراین مقدار ارتفاع ژئوئید باید با استفاده از مقادیر گره های اطراف محاسبه شود.

روش های مختلفی برای انجام این کار وجود دارد که هر کدام دارای دقت و پیچیدگی متفاوتی هستند. از مهم ترین این روش ها می توان به موارد زیر اشاره کرد:

• روش نزدیک ترین همسایه (Nearest Neighbor)
• روش وزن دهی معکوس فاصله (IDW)
• روش درون یابی دو خطی (Bilinear)

انتخاب روش مناسب به عواملی مانند دقت مورد نیاز، فاصله نقاط شبکه و نوع تغییرات ژئوئید در منطقه مورد مطالعه بستگی دارد.

ساده ترین روش برای تخمین مقدار ارتفاع ژئوئید در یک نقطه، استفاده از روش Nearest Neighbor یا نزدیک ترین همسایه است. در این روش مقدار ژئوئید نقطه مورد نظر برابر مقدار نزدیک ترین گره شبکه در نظر گرفته می شود.

به عبارت دیگر، اگر نقطه مورد نظر بین چند گره شبکه قرار داشته باشد، مقدار ارتفاع ژئوئید همان گره ای انتخاب می شود که فاصله کمتری با آن نقطه دارد.

مزیت اصلی این روش سادگی و سرعت بسیار بالا در محاسبات است. به همین دلیل در برخی سیستم های سریع پردازش داده از این روش استفاده می شود.

به دلیل این محدودیت ها، روش نزدیک ترین همسایه معمولاً در کاربردهای دقیق ژئودتیکی مورد استفاده قرار نمی گیرد و بیشتر به عنوان یک روش ساده یا مقدماتی شناخته می شود.

یکی از روش های متداول در درون یابی داده های مکانی، روش Inverse Distance Weighting یا به اختصار IDW است. در این روش فرض می شود که نقاط نزدیک تر تأثیر بیشتری در مقدار نهایی دارند و نقاط دورتر تأثیر کمتری خواهند داشت.

در روش IDW مقدار ژئوئید نقطه مورد نظر از میانگین وزنی مقادیر نقاط اطراف به دست می آید. وزن هر نقطه به صورت معکوس فاصله آن از نقطه مورد نظر تعریف می شود.

رابطه کلی درون یابی در روش IDW به صورت زیر نوشته می شود:

z=∑〖 λ〗_i z_i

در این رابطه:

• N مقدار ژئوئید نقطه مورد نظر
• Ni مقدار ژئوئید نقاط شبکه
• Wi وزن هر نقطه

وزن هر نقطه معمولاً از رابطه زیر محاسبه می شود:

λ_i=(1/(d_i^P ))/(∑1/(d_i^P ))

• d فاصله نقطه شبکه تا نقطه مورد نظر
• p توان فاصله یا پارامتر کنترل تاثیر فاصله

پارامتر p نقش مهمی در نتایج درون یابی دارد. اگر مقدار p بزرگ باشد، نقاط نزدیک تأثیر بسیار بیشتری خواهند داشت. در مقابل اگر مقدار p کوچک باشد، تأثیر نقاط دورتر نیز افزایش پیدا می کند.

یکی از دقیق ترین و رایج ترین روش های درون یابی در مدل های شبکه ای ژئوئید، روش Bilinear Interpolation یا درون یابی دو خطی است. این روش از چهار نقطه شبکه که در اطراف نقطه مورد نظر قرار دارند استفاده می کند و مقدار ژئوئید را با در نظر گرفتن تغییرات در دو جهت طول و عرض جغرافیایی تخمین می زند.

در این روش ابتدا موقعیت نقطه مورد نظر نسبت به چهار گره شبکه مشخص می شود. سپس مقدار ژئوئید با استفاده از ترکیب خطی مقادیر ژئوئید این چهار نقطه محاسبه می گردد. به همین دلیل این روش را درون یابی دو خطی می نامند.
f(x.y)=a_11 xy+a_10 x+a_01 y+a_00

ضرایب a_ij مجهولات ما هستند که با نوشتن 4 معادله برای چهار نقطه همسایه میتوان بدستشان آورد:

[█(f_1@f_2@f_3@f_4 )]=(■(x_1 y_1&x_1&y_1&1@x_2 y_2&x_2&y_2&1@x_3 y_3&x_3&y_3&1@x_4 y_4&x_4&y_4&1))[█(a_11@a_10@a_01@a_00 )]
f=A X
که در اینجا X مجهولات ما یعنی ضرایب a_ij می باشد و A ماتریس طرح ماست و f مقدار تابع ما می باشد.
حالا از فرمول زیر مقدار مجهول بدست می آید:

X= A^(-1) f

حالا برای نقطه n ام میتوان مقدار fn را بدست آود به طوری که داریم:
f_n=A_n A^(-1) f

فرض کنید چهار گره شبکه به صورت زیر باشند:

• N11 : مقدار ژئوئید در گوشه اول شبکه
• N21 : مقدار ژئوئید در گوشه دوم
• N12 : مقدار ژئوئید در گوشه سوم
• N22 : مقدار ژئوئید در گوشه چهارم

در این حالت مقدار ژئوئید نقطه مورد نظر با ترکیبی از این چهار مقدار محاسبه می شود. این روش تغییرات تدریجی سطح ژئوئید را بهتر مدل سازی می کند و نسبت به روش نزدیک ترین همسایه دقت بسیار بیشتری دارد.

روش های مختلف درون یابی ژئوئید دارای دقت و پیچیدگی متفاوتی هستند. انتخاب روش مناسب به نوع پروژه، دقت مورد نیاز و کیفیت مدل ژئوئید بستگی دارد.

در پروژه های مهندسی دقیق معمولاً از روش Bilinear استفاده می شود زیرا این روش تعادل مناسبی بین دقت و سرعت محاسبات ایجاد می کند.

ارتفاع ژئوئید نقش مهمی در بسیاری از شاخه های نقشه برداری و مهندسی ژئودزی دارد. مهم ترین کاربرد آن تبدیل ارتفاع های به دست آمده از سیستم های موقعیت یابی ماهواره ای به ارتفاع های واقعی قابل استفاده در پروژه های مهندسی است.

برخی از مهم ترین کاربردهای ژئوئید عبارتند از:

• تبدیل ارتفاع GNSS به ارتفاع ارتومتریک
• استفاده در پروژه های راه سازی و طراحی مسیر
• مطالعات هیدرولوژی و منابع آب
• پروژه های سد سازی و مهندسی عمران
• مدلسازی میدان گرانشی زمین
• یکپارچه سازی سیستم های ارتفاعی مختلف

بدون استفاده از مدل ژئوئید، داده های ارتفاعی حاصل از GPS نمی توانند به طور مستقیم در بسیاری از پروژه های مهندسی مورد استفاده قرار گیرند.

سیستم های موقعیت یابی ماهواره ای مانند GPS، GLONASS، Galileo و BeiDou مختصات سه بعدی نقاط را نسبت به بیضوی مرجع محاسبه می کنند. بنابراین ارتفاعی که از این سیستم ها به دست می آید در واقع ارتفاع بیضوی است.

از آنجا که بیشتر پروژه های مهندسی بر اساس ارتفاع نسبت به سطح متوسط دریا انجام می شوند، لازم است این ارتفاع بیضوی به ارتفاع ارتومتریک تبدیل شود. این تبدیل با استفاده از مقدار ارتفاع ژئوئید انجام می شود.

به همین دلیل تقریباً تمام گیرنده های GNSS پیشرفته و نرم افزارهای پردازش داده های نقشه برداری از مدل های ژئوئید استفاده می کنند.

ژئوئید یکی از مفاهیم بنیادی در ژئودزی و نقشه برداری است که به عنوان سطح مبنای ارتفاع در بسیاری از سیستم های ارتفاعی مورد استفاده قرار می گیرد. از آنجا که سیستم های GNSS ارتفاع را نسبت به بیضوی مرجع اندازه گیری می کنند، برای تبدیل این ارتفاع ها به ارتفاع واقعی لازم است از مدل های ژئوئید استفاده شود.

مدل های ژئوئید معمولاً به صورت شبکه ای از نقاط ارائه می شوند که مقدار ارتفاع ژئوئید در هر نقطه مشخص شده است. برای تعیین مقدار ژئوئید در نقاطی که دقیقاً روی شبکه قرار ندارند، از روش های درون یابی استفاده می شود.

روش هایی مانند Nearest Neighbor، وزن دهی معکوس فاصله (IDW) و درون یابی دو خطی (Bilinear) از مهم ترین روش های درون یابی در مدل های ژئوئید هستند. در میان این روش ها، درون یابی دو خطی به دلیل دقت مناسب و سرعت بالا در بسیاری از نرم افزارهای نقشه برداری مورد استفاده قرار می گیرد.

درک صحیح مفهوم ژئوئید و نحوه استفاده از مدل های آن برای هر مهندس نقشه بردار ضروری است، زیرا بدون استفاده از این مدل ها تبدیل دقیق ارتفاع های GNSS به ارتفاع های قابل استفاده در پروژه های مهندسی امکان پذیر نخواهد بود.